Таблица смертности для расчета пенсии

В результате изучения главы 7 студент должен:

знать

• демографические основы страхования жизни и дополнительной пенсии;
• методы количественной оценки демографических процессов;
• теоретические основы использования законов смертности при моделировании кривой дожития;

уметь

• рассчитывать вероятности смерти и дожития застрахованного до любого возраста;
• определять основные демографические характеристики продолжительности жизни застрахованного с использованием таблиц смертности и функций дожития;
• строить кривые дожития;
• содержательно интерпретировать полученные результаты;

владеть

• теоретическими основами демографического анализа;
• методами анализа демографических аспектов страхования жизни и дополнительной пенсии.

Дискретные характеристики продолжительности жизни. Таблицы смертности

Основные показатели таблиц смертности и их взаимосвязь

Таблицы смертности (дожития) (life tables) – это система взаимосвязанных показателей, характеризующих процесс доживания изучаемой совокупности населения до определенного возраста в конкретных условиях места и времени. Классическая таблица смертности состоит из нескольких статистических рядов, находящихся в определенных соотношениях и зависимостях.

Задачи анализа таблиц смертности:

• всесторонне характеризовать смертность и порядок дожития по всем возрастным группам населения на конкретный момент времени;
• давать сравнительную оценку отдельных таблиц, составленных в разные периоды времени, обычно приуроченных к годам проведения переписей населения. При решении этой задачи необходимо, чтобы сравниваемые таблицы дожития были построены по одной и той же методике;
• выявлять закономерности изменения и вероятности умереть в возрасте х лет (qx) и вероятности дожить до следующего возраста (рх) в отдельных возрастных группах населения обоих полов, а также закономерности доживания до определенного возраста (/,.), отдельно для мужчин и женщин.

Традиционно для показателей, содержащихся в таблице смертности, приняты следующие обозначения:

х – возраст, лет;

qx – вероятность для лица возраста х умереть в возрасте от х до (зг + 1) лет (умереть в течение года);

рх – вероятность дожить от возраста х лет до (х + 1) лет (прожить еще, по крайней мере, 1 год);

dx – число умирающих в возрасте от х до (.г + 1) лет;

1Х – число доживающих до возраста х полных лет, т.е. переживающих свой х-й день рождения (/0 – исходная совокупность родившихся);

Lx – среднее число лиц, живущих в интервале от х до (.г + 1) года;

ех – ожидаемая средняя продолжительность жизни для лица возраста х лет.

Начальная численность совокупности – "корень" (radix) таблицы смертности (/0) – является гипотетическим числом и обычно принимается равной 100 000 чел. В основе расчетов показателей таблиц смертности находится вероятность умереть в возрасте Л" лет (qx). Последовательность расположения показателей, представленных в самой таблице, отличается от порядка их вычисления (приложения 9, 10). Обычно в первой графе таблицы смертности представлены числа доживающих до возраста х лет (1Х).

В демографических и актуарных расчетах представляет интерес не только величина qx, но и показатель рх – вероятность для лиц возраста х лет дожить до возраста (х +1) лет.

Так как сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1, то

(7.1)

Для предельного возраста ω принимается, что
и

Величину рх можно получить и непосредственно из ряда /г Так как из 1Х лиц доживает до возраста (х + 1) лет
лиц, то

(7.2)

ПРИМЕР 7.1

По данным таблиц смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. (приложение 10) для мужчин и женщин 45 лет определите:

а) вероятность умереть, не дожив до 46 лет;
б) вероятность дожить до 46 лет, используя значения вероятности умереть в данном возрасте ( [1] известны формулы:

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 7.7

Используя данные таблицы смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. для мужчин и женщин (приложение 10), проверьте справедливость равенства

при условии, что д'=45, п=5, т=2.

Решение

Используя условия задачи докажем справедливость равенства

По результатам решения примеров (7.2) и (7.5) известны следующие значения показателей:

В соответствии с пунктом 5.2 Положения о Федеральной службе государственной статистики, утвержденного постановлением Правительства Российской Федерации от 2 июня 2008 г. N 420, и во исполнение пункта 8.3 Протокола расширенного заседания коллегии Росстата от 11 февраля 2014 г. N 1 приказываю:

Утвердить прилагаемую методологию расчета таблиц брачности, разводимости, смертности пенсионеров, инвалидизации населения.

Методология
расчета таблиц брачности, разводимости, смертности пенсионеров, инвалидизации населения
(утв. приказом Федеральной службы государственной статистики от 30 декабря 2014 г. N 736)

1. Общие таблицы брачности

Для расчёта общих таблиц брачности используются следующие исходные данные:

- число браков В(х, ), заключенных в течение календарного периода, как правило, 1 года, по однолетним или пятилетним группам возраста;

- население-под-риском, Е(х, ) число человеко-лет, прожитых населением в период расчёта таблиц брачности в возрастном интервале х, , в случае таблиц брачности за 1 год может быть отождествлено со среднегодовым населением.

В состав таблицы брачности включаются следующие показатели:

Возрастной коэффициент брачности на 1000

Число браков в интервале возраста на 1000

Число браков к концу интервала возраста на 1000

Средний возраст вступления в брак в возрастах старше данного

Таблица брачности рассчитывается для интервала возраста от 15 лет до 64 лет, все браки до 16 лет относятся к возрасту 15 лет, а все браки в возрасте старше 60 лет к возрасту 60-64 года. Для группы 15-19 лет считается, что средний возраст вступления в брак в этом интервале возраста есть 19.

Возрастной коэффициент брачности вычисляется как отношение числа браков к населению-под-риском:

При этом браки в неизвестном возрасте должны быть пропорционально распределены по всем интервалам возраста. Коэффициент распределения лиц неизвестного возраста равен отношению числа всех браков к числу браков, где возраст известен и каждое число браков умножается на этот коэффициент.

Число браков в интервале возраста х, равно произведению коэффициента брачности на длину возрастного интервала.

Число браков к концу интервала возраста равно

Средний возраст вступления в брак в возрастах старше данного равен

здесь - предельный возраст, учитываемый таблицей. В нашем случае 60 лет.

Перед расчётом таблиц первых браков необходимо пропорционально и независимо в каждой одногодичной группе возраста и среди лиц неизвестного возраста распределить браки с неизвестным предыдущим брачным статусом между браками никогда не состоящих в браке и всеми остальными.

2. Общие таблицы разводимости

Для расчёта общих таблиц разводимости используются следующие исходные данные:

- число разводов S(x, ), зарегистрированных в течение календарного периода, как правило, 1 года, по однолетним (в настоящее время недоступны и могут быть получены с помощью интерполяции) или пятилетним группам возраста;

- население-под-риском, Е(х, ) число человеко-лет, прожитых населением в период расчёта таблиц разводимости в возрастном интервале х, , в случае таблиц разводимости за 1 год может быть отождествлено со среднегодовым населением.

В состав таблицы разводимости включаются следующие показатели:

Возрастной коэффициент разводимости на 1000

Число разводов в интервале возраста на 1000

Число разводов к концу интервала возраста на 1000

Средний возраст при разводе в возрастах старше данного

Таблица разводимости рассчитывается для интервала возраста от 15 лет до 64 лет, все разводы до 16 лет (если таковые случаются) относятся к возрасту 15 лет, а все разводы в возрасте старше 60 лет к возрасту 60-64 года.

Для группы 15-19 лет считается, что средний возраст расторжения брака есть 19 лет.

Возрастной коэффициент разводимости вычисляется как отношение числа разводов к населению-под-риском:

Число разводов в интервале возраста х, равно произведению коэффициента разводимости на длину возрастного интервала. Такое равенство справедливо для всех чистых общих таблиц (рождаемости, разводимости, разводимости), где процесс не меняет численность совокупности.

Число разводов к концу интервала возраста равно

Средний возраст при разводе в возрастах старше данного равен

здесь - предельный возраст, учитываемый таблицей. В нашем случае 60 лет.

Коэффициент распределения лиц неизвестного возраста стандартно равен отношению числа всех разводов к числу разводов, где возраст известен и каждое число разводов умножается на этот коэффициент.

3. Таблицы смертности пенсионеров по видам назначенных пенсий по России в целом и в разрезе субъектов Российской Федерации

3.1. Алгоритм расчёта населения-под-риском на основе индивидуальных данных

Расчёт производится исходя из обезличенных данных о каждом живущем и умершем пенсионере.

Расчёт населения-под-риском проводится для периодных и когортных таблиц смертности. В обоих случаях на основе обезличенных данных в зависимости от типа расчёта строится краткая информация об индивиде. В случае периодных таблиц обработке подлежат только индивиды, принадлежащие к анализируемой когорте.

tB - точная дата рождения и tD - точная дата смерти, если индивид умер.

Последовательность периодов, на протяжении которых индивид проживал на рассматриваемой территории, обозначается через [ , ], [ , ], . [ , ], а последовательность периодов, в течение которых индивид был пенсионером исследуемой категории k,l > 0, - через [ , ], [ , ], . [ , ]. Весьма вероятно, что . Если индивид жив и вплоть до момента расчёта принадлежит требуемой территории и/или получает пенсию данной категории, то конец последнего интервала есть конец периода наблюдения, так называемая точка цензурирования.

На основе двух последовательностей строится последовательность периодов, удовлетворяющих обоим условиям. Для этого строится пересечение каждой пары интервалов [ , ] и [ , ], где , . Пересечение интервалов определяется по следующему алгоритму.

Если или , то пересечение пусто.

Если , то пересечение

Полученная с помощью алгоритма последовательность всех непустых пересечений обозначается через [ , ], [ , ], . [ , ]. Отрезки упорядочены по возрастанию. Если индивид в конце менял место жительства или категорию пенсии, то последняя из дат есть дата соответствующего события, если умер - дата смерти, в ином случае - дата цензурирования.

3.1.1. Данные для расчёта когортных таблиц

Численность населения под риском в возрасте х обозначается через , х меняется с шагом один год. При переходе от последовательности дат к последовательности точных возрастов считается, что , .

При рассмотрении последовательности для одного индивида [ , ], [ , ], . [ , ]. Дальнейший расчёт осуществляется для каждого из m отрезков.

В случае . Рассматривается последовательность отрезков [ , ], [ , ], . [ , ] и их пересечение с отрезком [ , ].

Если , то увеличивается на .

Если ,то увеличивается на , а увеличивается на .

Если , то увеличивается на , увеличивается на , а все при , увеличивается на 1.

3.1.2. Данные для расчёта периодных таблиц

Начало и конец календарного периода, для которого рассчитывается таблица, обозначается через и . Из последовательности [ , ], [ , ], . [ , ] выбираются те периоды, i для которых либо либо .

Если для некоторого отобранного периода , то левый конец периода заменяется на .

Если для некоторого отобранного периода , то правый конец периода заменяется на .

Если для некоторого отобранного периода , то левый конец периода заменяется на , а правый конец периода заменяется на .

Преобразованная последовательность перенумеруется так, чтобы она вновь имела вид [ , ], [ , ], . [ , ]. Если период , не слишком велик, то m, скорее всего, равно 1 или (реже) 2. Дальнейший расчёт в точности повторяет расчёт для когортных таблиц. Требуемое население под риском рассчитывается путём перебора всех индивидов.

3.2. Таблицы смертности пенсионеров

Расчёт начинается с определения возрастных коэффициентов смертности, представляющих собой отношение чисел умерших к населению-под-риском. Для расчёта таблиц смертности и числа умерших, и население-под-риском должны определяться на основе регистра пенсионеров.

3.2.1. Специфические трудности, возникающие при расчёте таблиц смертности пенсионеров

Российская пенсионная система чрезвычайно усложнена с точки зрения многочисленности типов назначаемых пенсий. Невозможно каким-то образом сгруппировать типы существующих пенсий с точки зрения оптимальной методологии расчёта таблиц смертности для данной категории пенсионеров, потому что пенсионная система непрерывно развивается.

Одна и та же категория пенсионеров может в целом по России рассматриваться, как вполне многочисленная категория, а по большинству субъектов федерации - малочисленная. Поэтому оптимально не классифицировать категории пенсионеров, а указать характеристики объекта изучения (т.е. пары категория-территория расчёта) с точки зрения её свойств, существенных для расчёта таблиц смертности.

3.2.1.1. Одновременность выхода на пенсию

Вся совокупность пенсионеров выходит на пенсию в разное время. Получателем трудовой пенсии по инвалидности можно стать в любом возрасте не моложе 18 лет (при наличии любого трудового стажа), то есть совокупность пенсионеров данной категории формируется постепенно, на протяжении длительного периода. Одновременностью выхода на пенсию обладают получатели трудовой пенсии по старости, назначенной на общих основаниях, получатели трудовой пенсии по старости, назначаемой ранее достижения общеустановленного возраста двух из трёх типов: раньше на 5 лет (таких по данным ПФР около 18% всех получателей трудовой пенсии по старости), раньше на 10 лет (их около 10%). Среди получателей трудовой пенсии по старости есть также и те, кто может начать получать пенсию с возраста 40 лет или независимо от возраста (в совокупности их около 5%).

Представляется целесообразным начать расчёт с возраста 39 лет. Эмпирический критерий гласит, что надёжность результатов достигается, если население-под-риском составляет не менее 1500-2000 человеко-лет.

В случае, когда исследуемая совокупность в целом малочисленна, и условие "население-под-риском не менее 1500-2000 человеко-лет" не выполняется ни в каких возрастах, при отсутствии рациональных соображений, вытекающих из пенсионного законодательства, можно прибегнуть к соображениям однородности совокупности, с точки зрения размера статистической погрешности. Из формул Чанга*(1) следует, что статистическая ошибка возрастного коэффициента смертности обратно пропорциональна корню квадратному из числа умерших (или корню квадратному из населения-под-риском). Если считать приемлемыми не более чем трёхкратные различия в статистической ошибке между возрастными коэффициентами смертности, то следует избегать более 10-кратных колебаний численности населения по возрасту.

Ситуация мнимой одновременности. Получатели трудовой пенсии по случаю потери кормильца присутствуют во всех возрастах. Они делятся на несколько неоднородных групп: дети, неспособные себя обеспечивать в силу возраста, взрослые, которым часто пенсия по случаю потери кормильца заменяет социальную пенсию по инвалидности, пожилые люди, не заработавшие собственную пенсию или у которых собственная пенсия меньше пенсии по потере кормильца.

В ситуации мнимой одновременности следует рассчитать несколько независимых таблиц смертности для более однородных подгрупп, либо рассматривать раздельно несколько возрастных диапазонов в одной таблице смертности.

3.2.1.2. Прерывность периода получения пенсии

Человек, получивший трудовую пенсию по старости, как правило, получает её до конца жизни, т.е. без прерывания. Получатели досрочно назначенной трудовой пенсии по старости после достижения общеустановленного пенсионного возраста продолжают рассматриваться как специфическая группа.

Но трудовая пенсия по инвалидности автоматически заменяется по достижению общеустановленного пенсионного возраста на трудовую пенсию по старости, если только пенсионер по инвалидности имеет требуемый трудовой стаж.

Также к числу прерывающихся видов пенсии относятся дети-инвалиды и дети, получающие пенсию по случаю потери кормильца. В обоих случаях прерывание происходит в интервале от возраста 18-23 лет. Во всех случаях расчёт для прерываемой категории по прямым данным может проводиться только до точки прерывания. После неё точный расчёт возможен при наличии данных о лицах ранее получавших пенсию данной категории. Существует возможность экстраполяции прерванных данных смертности на старшие возраста для того, чтобы оценить продолжительность предстоящей жизни в момент смены типа пенсии. В таких случаях экстраполируются таблицы смертности, используя формулы Гомперца-Мейкхема, Каннисто или Хелигмана-Полларда (вариант для старших возрастов).

Формула Хелигмана-Полларда для старших возрастов:

3.2.1.3. Учёт пенсионеров, получающих две пенсии

Более полумиллиона пенсионеров получают две пенсии. В статистике все получатели двух пенсий отражены только один раз - в числе получателей трудовой пенсии. Расчёт таблиц смертности касается популяции пенсионеров, а не популяции пенсий. При расчёте таблиц смертности каждый пенсионер должен включаться в расчёт по каждой из категорий, в которую он входит. Но если расчёт объединяет обе категории пенсий, получаемых пенсионеров, то он должен быть включён один раз.

3.2.1.4. Категории пенсионеров малой численности

Расчёт таблиц смертности для малочисленных категорий пенсионеров не проводится. Необходимо пользоваться оценками продолжительности жизни для более многочисленной группы населения.

3.2.2. Расчёт таблицы смертности

Под возрастом начала таблицы понимается возраст, выбранный в качестве первого для данного типа пенсии; под возрастом прерывания данного типа пенсии - максимальный возраст, до которого получение данного типа пенсии возможно и является массовым явлением;

Концом возрастной шкалы является возраст, после которого число умерших и численность населения-под-риском во всех возрастах равно нулю.

После определения возраста начала таблицы, для каждой однолетней возрастной группы (или, если предполагается расчёт краткой таблицы смертности, пятилетней возрастной группы) от этого возраста до возраста прерывания данного типа пенсии или до конца возрастной шкалы определяются число умерших и численность населения-под-риском.

При работе с регистровыми данными вероятность того, что число умерших больше 0, а численность населения-под-риском равна 0 - очень мала. Это может произойти, если единственный живущий в данном возрасте умер 1 января года расчёта. В соответствии с соглашением каждое "событие наступает в 00:00 указанного дня", в этом случае умерший не прожил ни минуты.

Если численность населения-под-риском равна 0 в нескольких группах далёких от конца возрастной шкалы, то необходимо перейти к расчёту по более крупным возрастным группам.

Если в отсутствии возраста прерывания численность населения-под-риском равна 0 в одной или нескольких группах вблизи конца возрастной шкалы, то необходимо минимально увеличить последний возрастной интервал так, чтобы число умерших и население-под-риском было больше 0.

При отсутствии прерывания последний возрастной интервал рассматривается как открытый возрастной интервал.

После того, как достаточное число таблиц смертности пенсионеров будет рассчитано, для массового расчёта таблиц смертности пенсионеров можно будет определить универсальный последний возраст и считать, что все живущие и умершие старшего этого возраста принадлежат к группе лет и старше.

Имеется возрастная шкала , , . , ряд чисел умерших , , . и населений-под-риском , , . . Здесь n - последний возраст, , . Определяется ряд длин интервалов , , . .

Для каждого i = 1, . n определяется ряд длин интервалов , , . ; . Длина последнего интервала либо равна , либо определён возраст (возраст прерывания) и расчёт проводится по общей формуле.

Для , i = 1, . n, рассчитывается коэффициенты смертности:

Далее определяется . Причём, если , то не определяется.

При М(0,1) > 0,107, то для мужчин ; для женщин , для двух полов вместе .

При , то для мужчин ; для женщин , для двух полов вместе .

В остальных возрастах (см. п. 1.1.1) при i = 1, . n - 1

если , то . Данная формула распространяется также на случай i = n и .

Все указанные выше показатели естественного движения и миграции характеризуют лишь отдельные компоненты. Для оценки демографических процессов в целом в статистике используются различные виды вероятностных таблиц. Вероятностные таблицы – это упорядоченные ряды взаимосвязанных показателей, характеризующих течение одного или нескольких демографических процессов в изучаемых совокупностях населения. Все многообразие вероятностных таблиц, применяемых в статистке, классифицируется следующим образом.

По формам движения населения (таблицы смертности, рождаемости, брачности, разводимости, миграции).

По полу (для населения обоего пола, для мужчин и женщин отдельно).

По возрасту (полные, по однолетним группам; краткие – для 5-летних и 10-летних групп).

По месту жительства (для городского и сельского населения) и по другим признакам.

Построение вероятных таблиц основано на использовании следующих свойств демографических событий:

Первое – необратимость событий. Нельзя дважды родиться или умереть, перейти из старшей возрастной группы в младшую;

Второе – неповторимость событий, можно только один раз вступить в первый брак или родить первенца;

Третье – строгое соблюдение очередности событий – нельзя вступить во второй брак, не вступив в первый и т.п.

Наиболее часто используются таблицы смертности или дожития.

Таблицы смертности или дожития представляют упорядоченные ряды взаимосвязанных показателей, характеризующих порядок доживания изучаемой совокупности населения до определенного возраста в конкретных условиях места и времени. Основная цель их построения – показать порядок дожития до определенного возраста совокупности сверстников или современников, сокращение численности этого населения при переходе из младшей возрастной группы в старшую в результате смертности.

Как и любая статистическая таблица, таблица дожития имеет свое подлежащее и сказуемое. В подлежащем одна графа – возраст, под которым понимается число полных прожитых лет с момента рождения человека. Начальный возраст – 0 лет, конечный – 100 лет, так как в течение столетия вся совокупность родившихся 100 лет назад вымирает (за редкими исключениями). Таблицы строятся для гипотетического (предполагаемого) населения, обычно это 100000 человек.

Основные показатели таблицы смертности или дожития (сказуемое таблицы):

l_x– число доживших до возраста х из каждых 100000 родившихся х лет назад.

d_x– число умерших в возрасте х.

Определяется, как d_x=l_x–l_x₊₁, отсюда l_x= d_x+l_x₊₁; l_x₊₁=l_x–d_x.

q_x – вероятность умереть в возрасте x лет;

P_x – вероятность дожить до возраста (x+1) год всеми, кто дожил до возраста х.

Определяется по формулам: P_x l_x₊₁:l_x, или P_x=1-q_x, так как P_x+q_x=1; q_x и P_x считаются в долях единицы с точностью до 0,00001.

L_x– среднее число живущих в интервале возраста от х до (х+1) года;

T_x– число человеко-лет, которое предстоит прожить совокупности живущих, достигших возраста х лет, начиная с этого возраста и кончая предельным (W),

определяется по формулам:

e_x – средняя предстоящая продолжительность жизни населения, достигшего х лет.

Рассчитывается по формуле:

e_o –ожидаемая продолжительность жизни при рождении:

Рассмотрим содержание одной из таблиц дожития (табл. 1.4.1).

Таблица дожития женского населения Новосибирска за 1996 – 1997 гг.

x	l_x	d_x	q_x	P_x	L_x	T_x	e_x
0,01207	0,98793	73,05
0,00158	0,99842	72,94
…	…	…	…	…	…	…	…
0,00060	0,99940	58,35
…	…	…	…	…	…	…	…
0,09370	0,90630	6,65
…	…	…	…	…	…	…	…

Из 100000 родившихся доживут до возраста 80 год – 39778 чел. На первом году (в возрасте 0 лет) имеют наибольшую вероятность умереть 1207 детей, в возрасте 1 год – 156 чел., в возрасте 16 лет – 59 чел., в возрасте 80 лет – 3727 чел. Из каждых 100000 человек имеют вероятность дожить до следующего года: в возрасте 0 лет – 98793 чел., в 16 лет – 99940 чел. и до возраста 81 год – 90630 чел. 7305143 – это число человеко-лет, которое предстоит прожить населению за 100 лет, начиная с нулевого возраста и кончая возрастом в 100 лет (Т₀). 5729744 – это число человеко-лет, которым располагает население в возрасте 16 лет (начиная с этого возраста, до предельных 100 лет).

Ожидаемая продолжительность жизни при рождении 73,05 года; те, кто достиг 16 лет, проживет в среднем еще 58,35 года; для тех, кто достиг возраста 80 лет средняя ожидаемая продолжительность дальнейшей жизни 6,65 года.

Значение таблиц дожития.

1. Таблицы дожития являются научно-обоснованным методом оценки здоровья населения на момент их составления по стране в целом, по ее отдельным регионам, федеральным округам, городскому и сельскому населению, по полу, возрастным группам.

2. Это единственный источник для определения средней предстоящей продолжительности жизни мужского и женского населения в территориальном разрезе и динамике.

3. Материалы таблиц дожития служат основой для расчета показателей воспроизводства населения, определения режима воспроизводства.

4. Показатели таблиц используются в демографических прогнозах, в построении демографических моделей развития населения на перспективу.

5. Без этих таблиц не обойтись для получения расчетов страхования жизни. Благодаря усовершенствованию методов построения таблиц, страхование жизни обрело твердую почву и превратилось в точную науку.

Воспроизводство населения

Воспроизводство населения – это постоянное возобновление его численности, как путем смены уходящих поколений новыми, так и переходом из одних структурных частей в другие. Поэтому, несмотря на границу жизни каждого человека, население продолжает существовать, сохраняя или меняя свою численность и структуру. К показателям воспроизводства относятся: суммарный коэффициент рождаемости, брутто-коэффициент воспроизводства, нетто-коэффициент воспроизводства.

Суммарный коэффициент рождаемости показывает число детей, рожденных в среднем одной женщиной за весь фертильный период ее жизни, т.е. с 15 до 49 лет включительно. Рассчитывается на основе соотношения:

где n_x– возрастной коэффициент рождаемости у женщин, находящихся в возрасте х лет.

Для пятилетних интервалов расчет производится следующим образом:

где n_x_/_x₊₄– коэффициент рождаемости в среднем за пятилетний возрастной интервал.

Брутто-коэффициент воспроизводства показывает число девочек, которое оставляет после себя каждая женщина, так как рождение детей – функция женщин. Он рассчитывается по формуле:

R_b =
· d,

где R_b– брутто-коэффициент воспроизводства; d – доля девочек среди родившихся.

Нетто-коэффициент воспроизводства (R_n) – это число девочек, которое оставляет после себя каждая женщина в среднем с учетом того, что часть этих девочек не доживет до возраста матери в момент их рождения. Расчет коэффициента ведется по следующим формулам:

а) для однолетних возрастных групп:

где n_x – возрастные коэффициенты рождаемости для женщин возраста х лет;

d – доля девочек среди родившихся;

L_x F – среднее число живущих женщин в стационарном населении таблиц дожития в интервале возраста от х до х+1 года;

б) для пятилетних возрастных групп:

где L F _x_/_x₊₄ – среднее число живущих женщин в стационарном населении таблиц дожития в интервале возраста от х до х+4 года.

По величине нетто-коэффициента судят о характере режима воспроизводства населения. При R_n>1 в населении осуществляется расширенное воспроизводств, т.е. идет увеличение каждого вновь вступающего в жизнь поколения по сравнению с численностью уходящих поколений.

При R_n=1 в населении образуется простое воспроизводство, т.е. уходящие и вновь вступающие в жизнь поколения равны по своей абсолютной численности.

где β_x + и β_x - - вероятности прибытия или выбытия в возрасте х лет для лиц, достигших этого возраста и участвующих в миграции; V_x + и V_x - - число прибывших или убывших в возрасте х лет за год; S_x – среднегодовая численность населения в возрасте х лет.

2. Находится показатель:

3. Производится корректировка данных возрастных передвижек с поправкой на миграцию:

где S_x’ – ожидаемая численность населения в возрасте х лет с учетом миграции; S_x 0 – ожидаемая численность населения в возрасте х лет по итогам возрастных передвижек без учета миграции.

Название: Финансовая математика

Автор: Евгений Михайлович Четыркин

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 |

§16.2. таблицы смертности и страховые вероятности

Таблицы смертности. Для осуществления актуарных расчетов, в том числе расчетов стоимостей страховых аннуитетов, необходимы исходные данные, характеризующие совокупность застрахованных по полу и возрасту, а также система нормативных демографических показателей, отражающих статистические закономерности дожития до того или иного возраста. Последние содержатся в таблицах смертности (mortality tables).

Таблица смертности представляет собой числовую модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей. Такая таблица показывает, как последовательно с увеличением возраста уменьшается эта совокупность, достигая нуля сразу после предельного возраста ш. Она является обобщением данных демографической статистики за некоторый период времени.

В России таблицы смертности разрабатываются статистическими органами для страны в целом, а также для крупных экономических районов и областей, как для всего, так и отдельно для городского и сельского населения раздельно для каждого пола.

Прежде чем приступить к описанию таблицы смертности и актуарных методов анализа необходимо сказать несколько слов о применяемых в актуарных расчетах обозначениях. Актуарная символика в личном страховании сложна, своеобразна и с этим приходится мириться, так как обозначения унифицированы на международном уровне. Одна из отличительных особенностей этой символики — множество нижних и верхних индексов, которые приписываются как справа, так и слева от основной переменной. Например, n]qx, и т.д.

Основной показатель таблицы смертности — число людей 1Х в возрасте ровно х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности /0, обычно равной 100 тыс. человек. Заметим, что и начальный возраст и первоначальное количество людей в таблице могут быть любыми — выбор того или иного начального возраста не влияет на результаты актуарных расчетов. Для актуарных расчетов применяют полные таблицы смертности, в которых возраст показан с интервалом в 1 год.

Величины 1Х (кроме /0) определяются расчетным путем на основе заданных вероятностей смерш (qx), или, чю реже, количества умерших (dx). В современных таблицах смертности исходным показателем обычно служит вероятность смерти, т.е доля умерших в возрасте от х до х + 1 лет из числа доживших до возраста х лет. Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим их усреднением и сглаживанием.

Помимо показателей 1Х таблица смертности содержит число умерших за год в каждой возрастной группе (dx). Никакие иные факторы выбытия, кроме повозрастных вероятностей умереть, при разработке таблицы во внимание не принимаются.

Фрагмент таблицы смертности

В качестве иллюстрации приведем фрагмент таблицы смертности для мужчин, в которой начальный возраст — 18 лет.

Показанные в таблице величины 1х и dx сами по себе не имеют смысла. Они приобретают его лишь при сравнении в рамках таблицы смертности.

Показатели таблицы смертности связаны очевидными соотношениями:

Таблица смертности, фрагмент которой приведен выше, является минимальной по набору показателей. Она достаточна для простых видов личного страхования — страхования на дожитие и страхования жизни. На практике применяют и более полные таблицы. В частности, в групповом пенсионном и медицинском страховании применяют таблицы выбытия (decrement tables), в которых помимо смертности учитываются и другие причины сокращения числа участников страхования.

Страховые вероятности. На основе данных таблицы смертности нетрудно получить систему вероятностей дожития, необходимую для расчета соответствующих страховых показателей. Рассмотрим наиболее важные из таких вероятностей.

Вероятность прожить от возраста х до х + п:

Вероятность прожить еще один год после возраста х: лет:

ПРИМЕР 16.1. Вероятность мужчине в возрасте 30 лет прожить

еще 10 лет составит1:

!fo =^2 327_ 10^30 /30 96 991

По данным таблицы смертности находят и вероятности смерти в определенных возрастах. Например, вероятность умереть в возрасте от х до х + п:

пРх = Лл±й_ = | dj. (16.2)

ПРИМЕР 16.2. Вероятность для мужчины в возрасте 30 лет умереть в течение 10 следующих лет определяется как

ю^зо = 1 - юРэо = 1 - °'95191 = 0.04809.

Вероятность умереть через т лет (на протяжении года т + 1) для лица в возрасте х лет составит:

В свою очередь вероятность для лица в возрасте х лет умереть в возрастном интервале от х + /я до х + m + п лет определим следующим путем:

Из последнего выражения вытекает, что

Иначе говоря, искомая вероятность равна произведению вероятности дожить до возраста х + т и вероятности умереть в следующие п лет.

I ПРИМЕР 16.3. Найдем для мужчины в возрасте 30 лет вероятность умереть в течения двух лет после достижения им 33 лет. Находим

'зз " 'з5 95 821 - 94 951

зі^зо = -^f - = ^ = 0,00897.

В некоторых актуарных расчетах (например, в пенсионном страховании) необходимы вероятности дожития супружеских пар. Эти вероятности также рассчитываются по таблицам смертности. Пусть речь идет о супругах в возрасте х и у лет и необходимо оценить вероятности прожить еще п лет для каждо-

12—726 337 го из них. Обозначим эти вероятности как прх; пру. Определим их следующим образом:

где lx, I — числа доживших до соответствующих возрастов (берутся из таблиц смертности для мужчин и женщин).

В свою очередь вероятности умереть для каждого из супругов составят:

rflx = 1 - „Р* п%=Х- „Ру

Рассчитаем еще две вероятности. Однако предварительно примем две рабочие гипотезы:

оба супруга достигают возрастов х и у в один день;

смерть одного супруга — страховое событие, независимое от смерти другого супруга.

Вероятность прожить супругам вместе еще п лет (вероятность "сохранения" супружеской пары) рассчитывается как произведение вероятностей двух независимых событий:

dc+я (и-я (к+я Х ty+n ,,s с

В актуарной практике фигурирующие в формуле произведения чисел доживших принято обозначать следующим образом:

1х*1у= 1ху И lx+n х 1у+п = 1ху+п-

Формулу (16.5) теперь можно записать:

Найдем теперь вероятность того, что супруг (заключивший договор страхования в возрасте х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до х + п лет, а супруга, напротив, доживет до у + п лет. Искомая вероятность (обозначим ее как прх | ) равна произведению вероятностей:

Л4>. = Ах „/>,= (1

ПРИМЕР 16.4. Пусть возраст супругов 50 и 45 лет. По таблицам смертности находим:

для мужчины /50 = 83640, /55 = 77007,

для женщины /45 = 96261, /50 = 94348.

Вероятность того, что оба супруга проживут следующие 5 лет, составит:

5Р50;45 = 5Р50 X 5Р45 =

Q3Q4Q * = 0'92070 * 0'98013 =

Вероятность того, что супруг не проживет 5 лет, а супруга проживет (см.(16.7)):

5Р5о|45 = Убрать рекламу

Фондовый менеджмент в расплывчатых условиях
Внутридневная торговля на FOREX-Игрок
Призрак биржи
Торговля с использованием уровней ДиНаполи
Технический анализ.Полный курс Ч.2
Полное руководство по Daytrading High
Дейтрейд онлайн
Создание и оптимизация торговых систем в MetaStock
Технический анализ. Эффективные инструменты для активного инвестора
Краткий курс по Закону волн Эллиотта return_links(1); ?>-->

return_links(1); ?>-->

Читайте также: