Сколькими способами можно составить график очередности ухода в отпуск 8 сотрудников лаборатории
Опубликовано: 14.06.2025
Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество
Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество
Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).
Число сочетаний без повторений
Число сочетаний с повторениями
Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле
При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов
| Выбор | Неупорядоченный | Упорядоченный |
| Без повтора | ||
| С повтором |
Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.
ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.
ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?
ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?
Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .
ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?
Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.
ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?
Решение: Составим вспомогательную таблицу
Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.
ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?
Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.
Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.
Тогда искомое число способов расстановки есть
ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.
ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?
Решение: Составим схему.
Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .
На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .
ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Решение: Рассуждения произведем несколькими способами
I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.
Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме
Поэтому всего способов распределения учеников будет .
II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться
“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”
“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,
Таким образом, всего способов распределения учеников будет .
По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.
ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?
Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.
Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .
Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).
В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.
Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.
ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?
Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида
Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.
По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:
Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить комбинаторную задачу.
13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Отв.: 3628800
13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
Отв.: 126126
13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?
Отв.: а)32; б) 62
13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?
13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?
Отв.: 9864000
13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
Отв.: 725760
13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Отв.: 9000000
13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?
Отв.: 105840
13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?
13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?
Отв.: 362160
13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?
Отв.: 60466176
13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?
13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?
13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?
Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество
Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество
Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).
Число сочетаний без повторений
Число сочетаний с повторениями
Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле
При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов
| Выбор | Неупорядоченный | Упорядоченный |
| Без повтора | ||
| С повтором |
Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.
ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.
ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?
ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?
Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .
ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?
Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.
ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?
Решение: Составим вспомогательную таблицу
Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.
ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?
Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.
Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.
Тогда искомое число способов расстановки есть
ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.
ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?
Решение: Составим схему.
Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .
На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .
ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Решение: Рассуждения произведем несколькими способами
I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.
Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме
Поэтому всего способов распределения учеников будет .
II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться
“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”
“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,
Таким образом, всего способов распределения учеников будет .
По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.
ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?
Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.
Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .
Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).
В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.
Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.
ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?
Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида
Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.
По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:
Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить комбинаторную задачу.
13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Отв.: 3628800
13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
Отв.: 126126
13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?
Отв.: а)32; б) 62
13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?
13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?
Отв.: 9864000
13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
Отв.: 725760
13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Отв.: 9000000
13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?
Отв.: 105840
13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?
13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?
Отв.: 362160
13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?
Отв.: 60466176
13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?
13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?
13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:
Практическое занятие по теме :
Интегралы и их свойства
Цель занятия: закрепить и обобщить навыки вычисления неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции
Задания для решения на занятии
Вычислить неопределенные интегралы:
Вычислить определенные интегралы:
Вычислить площади криволинейных трапеций, ограниченных линиями:
у= , у=-log 2 х+1, у=0
у=х 2 +2х-3, у=-х 2 +2х+5
Вычислить площади криволинейных трапеций, ограниченных линиями: а) у=2х 2 -1, у=х 2 б) у= , у= х-2, у=- х+4
Практическое занятие по теме:
Цель занятия: научиться определять вид дифференциального уравнения,
решать дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Задачи для решения на занятии
- Найти общие решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
- Найти частные решения дифференциальных уравнений.
9. , если у=2 при х=0.
10. , если у=1 при х=2.
11. , если у=0,5 при
III. Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений.
IV. Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений
V. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
23. , если у=0 при х=0
24. , если у=1 при х=0
26. , если у=0,5 при х=1
Практическое занятие по теме:
Основные понятия дискретной математики
Тема: Размещения, перестановки, сочетания. Бином Ньютона
Цель занятия: научиться вычислять количество комбинаций элементов множества в соответствии с заданными правилами.
Задания для решения на занятии
Вычислить: 1) - 2) 3) 4)
Упростить: 1) 2) ( - ) п !
Найти значения выражения: +
- =79
- =156
- =
- =
Задачи : 1. Сколькими способами можно составить график очередности ухода в отпуск 8 сотрудников лаборатории?
2. Сколькими способами можно выбрать для подарка 3 предмета из 9 различных предметов?
3. Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв, составляющих слово «гипотенуза», равно числу всех возможных перестановок букв, составляющих слово «призма».
Представить в виде многочлена, используя формулу бинома Ньютона:
Найти значения выражения: ( - )
Решить уравнение: =18
Решить задачу: Сколькими разными способами можно рассадить троих учащихся, пришедших на факультативные занятия, на сорока имеющихся в классе стульях?
Представить в виде многочлена, используя формулу бинома Ньютона:
Практическое занятие по теме:
Цель занятия: научиться вычислять вероятности, применяя классическое определение вероятности и вероятности сложных событий
Задания для решения на занятии
1. Определите, какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:
2. Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает 2 года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:
3. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки наугад вынимают 2 предмета. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:
4. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали шляпы наугад. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:
5. В игре «Любовь с первого взгляда» участвуют трое юношей и три девушки. Каждый юноша выбирает одну девушку, а каждая девушка-одного из юношей.Если юноша и девушка выбирают друг друга, то образуется пара. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:
6. Винни-Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве всех-всех-всех событие А= < Винни-Пух и Пятачок будут сидеть рядом >является достоверным, а при каком-случайным?
7. В школе учится N учеников. При каких значениях N событие А= < в школе есть ученики с совпадающими днями рождениями >является достоверным, а при каком-случайным?
8. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие А= < вы ничего не выиграете >было невозможным?
9. В шкафу 10 пар ботинок с 36-го по 45-й размер – по одной паре каждого. Ботинки достают из шкафа наугад. Какое наименьшее количество ботинок надо вынуть из шкафа, чтобы событие А= < из вынутых ботинок можно составить хотя бы одну пару>было достоверным?
10. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий являются для такого класса невозможным, какие-достоверные, какие-случайные:
11. Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:
12а. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад N шаров. Рассмотрим событие А=< среди вынутых шаров окажутся шары ровно трех цветов >. Для каждого N от 1 до 9 определите, какое это событие- невозможное, достоверное или случайное.
12б. В коробке снова 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Рассмотрим событие В=<среди вынутых шаров окажутся шары ровно М цветов >. Для каждого М от 1 до 4 определите, какое это событие- невозможное, достоверное или случайное.
- Игральный кубик подбросили 1 раз. Какова вероятность появления шестерки?
- В урне 3 белых и 7 черных шаров. Случайным образом вынули 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?
- Бросили один раз 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обеих гранях в сумме выпадет 7 очков?
- Бросили один раз 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 3?
- Какова вероятность того, что наудачу выбранное число от 40 до 70 является кратным 6?
- Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры и, помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что набраны нужные цифры?
- Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну карту. Какова вероятность того, что это будет карта бубновой масти?
- Из букв слова «Вероятность» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что выбранная буква будет: а) гласной; б) согласной; в) буква «О»?
- Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность, что число на взятой карточке окажется кратным 5?
- В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
- В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность следующих событий: а) сумма номеров вынутых шаров меньше 7; б) сумма номеров вынутых шаров равна 11; в) сумма номеров вынутых шаров не больше 11.
- Бросают два одинаковых игральных кубика. Какова вероятность того, что модуль разности выпавших очков равен 2?
- Произвольным образом выбирается двузначное число. Какова вероятность того, что это число окажется: а) кратным 3; б)кратным 6; в) кратным 50?
- Студенту предложили написать на доске любое натуральное число от 100 до 200. Найти вероятность того, что: а) это число нечетное; б)среди цифр этого числа есть 3; в)это число не является кубом целого числа; г) сумма его цифр больше 3.
- Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет: а) одну окрашенную грань; б) две окрашенные грани; в) три окрашенные грани.
- Имеется корзина с 10 черными и 12 белыми шарами. Найдите вероятность вытаскивания с закрытыми глазами черного шара.
- Представьте, что вы стоите на 4 этаже 9-этажного дома. Вам необходимо спуститься вниз. Известно, что лифт начал своё движение вверх с 1 этажа. Какова вероятность того. Что лифт приедет именно на 4 этаж?
- Какова вероятность того, что Андрей из мешка с бочонками для лото вытащит бочонок с четной цифрой, если в лото участвуют бочонки от 1 до 99?
- Допустим, что вы забыли последнюю цифру номера телефона друга и набрали ее наугад. Какова вероятность того, что вы набрали ее верно?
- Возьмем всем известный кубик с шестью гранями с нанесенными на него цифрами от 1 до 6.
а) Какова вероятность того, что при подбрасываний выпадет цифра 3?
б) …выпадет четная цифра? в) …число, кратное трем? г) …число 0?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Сборник задач прикладного и практического содержания
В профилированной программе по математике для начального профессионального образования основной задачей ставится укрепление межпредметных связей .
Сборник задач по дисциплине « Технология приготовления мучных кондитерских изделий» для специальности 260502 « Технология продукции общественного питания»Сборник задач по дисциплине « Технология приготовления мучных кондитерских изделий» для специальности 260502 « Технология продукции общественного питания» Пояснительная записка. Сборник практических з.
Сборник задач по "Банковским операциям" для самостоятельной подготовки студентов сп.080108 "Банковское дело"
Подготовка к ИГА (итоговая государственная аттестация) всегда очень ответственный и сложный момент для учащихся. В помощь своим студентам 3 курса помещаю варианты задач и тестов, а также вопросы для у.
Сборник задач по "Учету в банках" для самостоятельной подготовки студентов сп. 080108 "Банковское дело"
Задания необходимы для их самостоятельного решения и подготовки к ИГА. Все решенные задачи и тесты помогут быть уверенными на экзаменационном испытании..Удачи и успехов вам - мои любимые студенты.
Сборник задач Для учащихся учреждений начального профессионального образования сельскохозяйственного профиля
Данный сборник задач составлен на основании образовательного стандарта по профессии «Тракторист-машинист сельскохозяйственного производства» ОСТУ ПО 02-37.14-2000.В настоящем сборнике приведены .
Сборник задач по УД "Теория алгоритмов"
сборник задач по учебной дисциплине "Теория алгоритмов".
Сборник задач по теме "Тригонометрия"
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.
Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.
2) ЗАДАЧИ
1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?
Каждый работник, официально трудящийся в какой-либо организации, мечтает о том, чтобы скорее наступило время отпуска.
Между тем, в законодательстве имеется такое понятие, как очередность отпусков. Что это такое? И каковы основные правила распределения отпусков в графике?
Ответим на эти и некоторые другие вопросы в настоящей статье.
Если вы хотите узнать, как решить именно Вашу проблему - обращайтесь в форму онлайн-консультанта справа или звоните по телефону 8 (800) 350-29-87 . Это быстро и бесплатно !
Что это такое?
Данное понятие упоминается в ст. 123 Трудового кодекса РФ. Если говорить простым языком, то под данной очередностью нужно понимать некий порядок ухода в отпуск сотрудников организации. Еще проще: кто за кем идет отдыхать.
Данный порядок определяет руководитель организации, с учетом мнения профсоюза, за две недели до начала календарного года.
Всех остальных работодатель должен проинформировать о дате ухода в отпуск не позднее, чем за две недели до его наступления. Впрочем, график отпусков не является секретным документом. С ним всегда можно ознакомиться по запросу (как происходит ознакомление с документом?).
Какие законы регулируют?
В первую очередь, необходимо обратить внимание на главу 19 ТК РФ. Она полностью посвящена отпускам. В статьях, включенных в эту главу, содержатся нормы, которые регулируют все вопросы, связанные с уходом в отпуск. Есть статьи про оплачиваемый отдых и порядок его предоставления в других главах закона.
Например, ст. 267 ТК РФ, в которой речь идет о несовершеннолетних.
Статья 267 ТК РФ. Ежегодный основной оплачиваемый отпуск работникам в возрасте до восемнадцати лет
Ежегодный основной оплачиваемый отпуск работникам в возрасте до восемнадцати лет предоставляется продолжительностью 31 календарный день в удобное для них время.
В рамках рассматриваемого вопроса можно обратить внимание и на следующие правовые акты:
В ст. 123 ТК РФ не закрывает перечень, говоря о том, что время отпуска по своему усмотрению могут выбрать разные категории работников, если это предусмотрено федеральными законами или самим ТК РФ.
Таким образом, не обязательно вносить поправки в ТК РФ, чтобы предоставить некой категории работников определяться со временем отпуска. Достаточно, чтобы новое правило появилось в каком-то ФЗ.
Правила установления и распределения
Кое-что по этой теме уже было изложено выше.
Кроме того, нужно принимать во внимание, что не которые категории сотрудников вправе уходить в отпуск, когда им пожелается. Вернее, они должны сообщить работодателю, подготавливающему график, когда хотят уйти отдыхать. Что это за категории работников? Ответ – в таблице:
Таким образом, право выбрать время отпуска предоставляется лицам, которые имеют какие-либо заслуги перед государством. Исключение – мужья, жены которых готовятся стать мамами. Но здесь уже в действии принцип Конституции РФ об особой защите материнства и детства. Женщине во время беременности нужна поддержка и помощь любимого мужчины.
Выходит, что работодатель должен сначала спросить у перечисленных категорий работников, когда они хотят отдыхать, а затем уже «разбрасывать» остальных сотрудников по календарю.
Отдых совместителя
- Отпуск по совместительству предоставляется в то время, на которое выпадает время отдыха от основной работы.
- Если сотрудник не отработал больше полугода на дополнительном месте работы, то отпуск предоставляется ему авансом.
- Если на втором месте работы продолжительность отпуска не такая большая, как на месте основном, то работник вправе попросить о предоставлении ему дней без содержания.
В 2018 году появилась информация о том, что некоторые депутаты Госдумы РФ выступают за то, чтобы запретить совместительство. Поэтому не исключаем вероятности, что данная информация в скором времени не будет актуальной.
Если не использован за прошлый год
Что нужно делать в такой ситуации, чтобы не нарушить закон? Ст. 124 ТК РФ говорит о том, что запрещается непредоставление ежегодного оплачиваемого отпуска в течение 2 лет подряд. Основываясь на данном положении и других нормах ТК РФ, можно сделать вывод, что сотрудник, который не ходил в отпуск в прошлом году, должен все отгулять в этом.
Напрашивается еще один вывод: если работник не хочет идти в отпуск второй год подряд, то работодатель должен его «выгнать». Иначе, контролирующие органы могут применить санкции.
Сколько дней можно брать?
Пример: сотрудник не отдыхал в прошлом году. Отпуск у него 31 день. Соответственно, он может уйти с работы на 56 дней (28+28), а за 6 дней получить компенсацию ((31-28)*2).
Из этого правила есть несколько исключений.
Нельзя заменять отпуск денежной выплатой:
- беременным;
- несовершеннолетним;
- лицам, имеющим право на дополнительные дни отдыха, в силу того, что у них вредные условия труда.
Это вполне разумные запреты. Дети и беременные – это априори слабые люди, которые должны отдыхать в полной мере. Полноценный отдых нужен и тем, кто задействован на вредном производстве. Здоровье за деньги не купишь.
Нужно немного «отвлечься» от работы, чтобы восстановиться. Напрашивается и еще один вопрос: сколько раз в год можно брать отпуск и какой промежуток между отдыхом должен быть?
Согласно ст. 125 ТК РФ, ежегодный оплачиваемый отпуск может быть разделен на части.
- работник и работодатель достигли соглашения по данному вопросу;
- одна из частей отпуска должна быть не менее 14 дней.
Таким образом, получается, что на две недели нужно уйти обязательно, а дальше – все зависит от договоренностей с начальством. Руководитель может предложить уйти на две недели летом и на две недели – зимой. Дело работника, соглашаться или нет. Если отказаться, то есть риск уйти в январе на все 28 дней.
Подводя итоги всему, что было изложено, отметим, что в подавляющем большинстве случаев вопрос об установлении очередности предоставления отпусков решается работодателем. Именно руководитель организации составляет соответствующий график, стараясь все сделать так, чтобы компания не страдала от отсутствия в ней сотрудников, необходимых в конкретное время.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.
Не нашли ответа на свой вопрос? Узнайте, как решить именно Вашу проблему - позвоните прямо сейчас:
8 (800) 350-29-87 (Москва)
8 (800) 350-29-87 (Санкт-Петербург)
Читайте также: